因简单而流传——口罩佩戴双重效应的数学模型

2021-01-14 12:03:04

数学模型是人类应对新传染疫情的“快速反应部队”。疫情伊始，北京大学定量生物学中心李志远研究员就积极投入与流行病传播和控制相关的数据挖掘和建模工作，2020年春参加了由香港浸会大学汤雷瀚教授牵头组织的“COVID-19模型团队”。该团队汇集了世界多地的研究者，通过在线合作的方式，以统计和建模等多种数理手法寻求对新冠疫情的定量理解以及对有效防控方式的预测。李志远发展了首个关于口罩的群体效应的定量模型，说明佩戴口罩的人群比例对疫情防控具有非线性效应。该模型简明生动，被海外数十家防控机构引用，成为新加坡全民口罩发放机的宣传配图，在欧美“是否佩戴口罩”的大讨论中产生了深远影响。

李志远因此被《美国科学院院刊》邀请作为主要作者参与撰写“An evidence review of face masks against COVID-19”，该综述于2021年1月11日在线发表（https://www.pnas.org/content/118/4/e2014564118）。

文中李志远与其他作者共同总结了相关数理模型，并提供文中的唯一插图——插图显示了关于口罩佩戴对控制疫情的双重效应，传达出简明的信息——即使是过滤效力较低的普通口罩，在全民佩戴时也能起到整体阻断传播的宏观效果。请佩戴口罩。

这篇Perspective历经波折修改4稿——于2020年4月10日在预印本文库上线，7月13日向PNAS投稿，仅在预印本文库上就激起了100多条回复，浏览30万次下载8万次，正式刊发前已被引用超过200次，刊发后两天即在twitter上激起了新一轮的热烈讨论。这些争论的焦点只有一个——面对新冠大流行，既往科学证据是否支持全民口罩？

自2020年开场，新冠疫情冲击全球。在疫情爆发的最初几个月里，如何以封城、流调、强制口罩佩戴等“非医学防控措施”压制大流行，成为各地区面临的突发挑战。1-3月间，面对知之甚少的呼吸道传染病，亚洲多国迅速地站在了 “戴口罩” 这一边。事实上，早在晚清末年，扑灭中国东北大鼠疫的过程中，被称为 “中国防疫事业第一人” 的伍连德博士大力推行棉布夹层口罩的应用，对阻断传播起到关键作用。亚洲多地区都有佩戴口罩以防控传染病或隔绝空气致敏原的传统，对口罩的依从性较好。在新冠大流行中，亚洲各国较早地出台了全民口罩佩戴 (universal mask-wearing) 的强制或鼓励政策。同时，欧美各地对于口罩，特别是全民口罩佩戴政策的接受大多较晚。究其原因，除了流行初期专业医学口罩的短缺以及普通民众对个人选择的看重外，欧美学界对口罩效果的质疑也是重要因素：比如，对于流感一类呼吸道传染病，口罩的效应尚未存在具有大规模严格对照组的比教学研究；不专业的口罩佩戴方式会限制防护效果；口罩佩戴也许会给民众带来虚幻的安全感从而忽略其它防疫措施；更重要的是，普通材质的口罩对携带病毒的液滴的过滤效力远低于专业防护口罩（相比于过滤超过95%微粒的N95口罩，外科手术口罩的过滤效力约为70%左右，而普通口罩大多低于50%），可能对于个人防护收益不大。

应对这些质疑，这篇综述梳理了口罩与流行病防控的各方面既往研究，为全民口罩佩戴的政策提供了系统的科学证据支持。例如，文章列举了新冠和其它呼吸系统传染病中，口罩对传播控制效力的流行病学统计证据。文章也讨论了呼出和吸入液滴的空气动力学在不同材质的口罩的过滤效应的影响。更重要地，文章通过对新冠本身的传播特征，特别是无症状和前症状感染者的传播能力的评估，提出口罩的效应应从两方面衡量——1. 使佩戴者本身免受感染的“个人保护”作用（personal protection）；2. 削弱病毒携带者本身的传播力的“来源控制”作用（source control）。前者侧重于个人防护，而后者偏向于“防控”本身。那么，考虑到口罩的这双重效应，即使是过滤效力较低的普通口罩，是否可能在由全民佩戴时对疫情防控起到宏观效果？

双重效应的简单模型中，口罩佩戴对压制病毒传播能力显示出有非线性效应：佩戴口罩的人口比例越大，单个口罩对流行病的压制效应越强。

数学上，这个高度简化的“双重效应模型”最初版本仅包含加法和乘法：若所有人都佩戴口罩，则病毒的每次传播都要经过两个口罩的削弱——透过传播者的口罩，到达同样佩戴口罩的易感染者的呼吸道。那么，若每个口罩平均过滤e%的病毒，则病毒的传播能力会被乘上一个“（1-e%）^2”的削弱系数。直观来说，若某种普通口罩仅能过滤一半的病毒微粒，在其被全民佩戴时却能将病毒的传播能力削弱为原来的四分之一。类似地，若有p%的人群佩戴口罩，则其对病毒传播的削弱系数是p和e的非线性二次函数：(1-e%*p%)^2。

新冠疫情中，这是第一个考虑到大规模口罩佩戴的双重效应的数学模型。作者本人之后对模型进行了多方面的补充，加入了包括”吸入和呼出气时的e不相同“，”非呼吸道传播“等更加真实的因素。此后，各国研究者也有多篇专注于口罩效果的更为完备和复杂的流行病数学模型发表。

然而，反而是最初的简单的双重效应模型“(1-e%*p%)^2“，因其直观性得到了在全球防控努力中的最广泛传播——包括但不限于被经济合作与发展组织OECD的“2020年就业展望-工人安全和COVID-19危机报告”，加拿大艾伯塔省卫生服务局、威尔士卫生技术中心、美国南迈阿密医院,、新加坡淡马锡基金会、美国麻萨诸塞州高科技委员会、加拿大IRSST医疗研究所、托尼布莱尔全球变化研究所）引用，其简明示意图被作为新加坡全民免费口罩发放机的宣传图，以四种语言整版广告在新加坡各地刊出。也因此模型的广泛传播和所引发的讨论，作者被Masks4All（https://masks4all.co/，一个由多国科学家和公共卫生专业人员组成的，促进全民口罩佩戴的非官方国际组织）邀请参与此综述的撰写。此外，由科普作家Aatish Bhatia(https://aatishb.com/maskmath/)援引此模型制作的百万播放量级的口罩宣传片”Why Masks Work BETTER Than You'd Think(https://www.youtube.com/watch?v=Y47t9qLc9I4) 和其提出的更为简单的“666“原则更加扩大了”双重效应模型“的影响范围。（当60％的人佩戴过滤效率为60％口罩时，疾病传播力下降60％——若认为新冠的R0约为2.4左右（N. Ferguson et al., “Impact of non-pharmaceutical interventions (NPIs) to reduce COVID19 mortality and healthcare demand” (Rep. 9, The Royal Society,2020），此效果可基本阻断新冠的大规模传播）。《纽约客》的Atul Gawande在其报道“Amid the Coronavirus Crisis, a Regimen for Reentry”中援引此666原则和这篇综述，总结道：“如果至少60％的人佩戴哪怕仅能阻断60%病毒通过的口罩，流行可以制止。口罩越有效，影响越大。”（https://www.newyorker.com/science/medical-dispatch/amid-the-coronavirus-crisis-a-regimen-for-reentry）

新加坡免费口罩发放机，宣传图使用了候选人预印本中关于口罩群体效应的结果图的简明版。

双重模型的广泛传播，彰显了简单数学的魅力——高度简化的模型传递出清晰明了的信息，有助于面向普通民众的宣传和科普。

疫情仍在继续。全球范围内，新冠大流行的趋势尚未得到有效遏制。二十年来，冠状病毒（SARS,MERS,SARS-COV2）已经三次以呼吸道传染病的形式威胁公共卫生安全。未来，各种数学模型仍将作为研究者们的“快速反应部队”，协助人类面对传染病做出理性决策。